Riješi x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Riješite za x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -1 sa b i -1 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Riješite jednačinu x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Da bi proizvod bio pozitivan, obje vrijednosti x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} moraju biti negativne ili pozitivne. Razmotrite slučaj kad su x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} negativni.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Razmotrite slučaj kad su x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} pozitivni.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$