Riješi x^2-9x-70=0

$${ x }^{ 2 } -9x-70 = 0$$

Riješite za x

$$x=-5$$

$$x=14$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-9x-70 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-9 ab=-70$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -9.

$$a=-14 b=5$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-14\right)\left(x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-14=0 i x+5=0.

$$x=14 x=-5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-70. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-9 ab=1\left(-70\right)=-70$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -9.

$$a=-14 b=5$$

Ponovo napišite x^{2}-9x-70 kao \left(x^{2}-14x\right)+\left(5x-70\right).

$$\left(x^{2}-14x\right)+\left(5x-70\right)$$

Isključite x u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$x\left(x-14\right)+5\left(x-14\right)$$

Izdvojite obični izraz x-14 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-14\right)\left(x+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-14=0 i x+5=0.

$$x=14 x=-5$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-9x-70=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -9 i b, kao i -70 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-70\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-70\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -70.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+280}}{2}$$

Saberite 81 i 280.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 361.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±19}{2}$$

Opozit broja -9 je 9.

$$x=\frac{9±19}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{9±19}{2} kada je ± plus. Saberite 9 i 19.

$$x=\frac{28}{2}$$

Podijelite 28 sa 2.

$$x=14$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{9±19}{2} kada je ± minus. Oduzmite 19 od 9.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Podijelite -10 sa 2.

$$x=-5$$

Jednačina je riješena.

$$x=14 x=-5$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x-70=0$$

Dodajte 70 na obje strane jednačine.

$$x^{2}-9x-70-\left(-70\right)=-\left(-70\right)$$

Oduzimanjem -70 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-9x=-\left(-70\right)$$

Oduzmite -70 od 0.

$$x^{2}-9x=70$$

Podijelite -9, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{9}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{9}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=70+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{9}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=70+\frac{81}{4}$$

Saberite 70 i \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{19}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{19}{2}$$

Dodajte \frac{9}{2} na obje strane jednačine.

$$x=14 x=-5$$