Riješi x^2-8x-15=5

$${ x }^{ 2 } -8x-15=5$$

Riješite za x

$$x=-2$$

$$x=10$$

Koraci koji koriste faktoring

Oduzmite 5 s obje strane.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

Oduzmite 5 od -15 da biste dobili -20.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-8x-20 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-8 ab=-20$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -8.

$$a=-10 b=2$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-10=0 i x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 5 s obje strane.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

Oduzmite 5 od -15 da biste dobili -20.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-20. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-8 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -8.

$$a=-10 b=2$$

Ponovo napišite x^{2}-8x-20 kao \left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(2x-20\right)$$

Isključite x u prvoj i 2 drugoj grupi.

$$x\left(x-10\right)+2\left(x-10\right)$$

Izdvojite obični izraz x-10 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-10\right)\left(x+2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-10=0 i x+2=0.

$$x=10 x=-2$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-8x-15=5$$

Oduzmite 5 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-8x-15-5=5-5$$

Oduzimanjem 5 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-8x-15-5=0$$

Oduzmite 5 od -15.

$$x^{2}-8x-20=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -8 i b, kao i -20 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-20\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-20\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -20.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2}$$

Saberite 64 i 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2}$$

Opozit broja -8 je 8.

$$x=\frac{8±12}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{8±12}{2} kada je ± plus. Saberite 8 i 12.

$$x=\frac{20}{2}$$

Podijelite 20 sa 2.

$$x=10$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{8±12}{2} kada je ± minus. Oduzmite 12 od 8.

$$x=-\frac{4}{2}$$

Podijelite -4 sa 2.

$$x=-2$$

Jednačina je riješena.

$$x=10 x=-2$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-8x-15=5$$

Dodajte 15 na obje strane jednačine.

$$x^{2}-8x-15-\left(-15\right)=5-\left(-15\right)$$

Oduzimanjem -15 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-8x=5-\left(-15\right)$$

Oduzmite -15 od 5.

$$x^{2}-8x=20$$

Podijelite -8, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -4. Zatim dodajte kvadrat od -4 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -4.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

Saberite 20 i 16.

$$x^{2}-8x+16=36$$

Faktor x^{2}-8x+16. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Pojednostavite.

$$x-4=6 x-4=-6$$

Dodajte 4 na obje strane jednačine.

$$x=10 x=-2$$