Riješi x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1,414213562i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -6 i b, kao i 11 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Pomnožite -4 i 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Saberite 36 i -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Opozit broja -6 je 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} kada je ± plus. Saberite 6 i 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Podijelite 6+2i\sqrt{2} sa 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} kada je ± minus. Oduzmite 2i\sqrt{2} od 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Podijelite 6-2i\sqrt{2} sa 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Jednačina je riješena.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Oduzmite 11 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Oduzimanjem 11 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

Podijelite -6, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -3. Zatim dodajte kvadrat od -3 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -3.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Saberite -11 i 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Faktor x^{2}-6x+9. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Pojednostavite.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Dodajte 3 na obje strane jednačine.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$