Riješi x^2-3x+1=0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 = 0$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -3 i b, kao i 1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

Saberite 9 i -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Opozit broja -3 je 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} kada je ± plus. Saberite 3 i \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} kada je ± minus. Oduzmite \sqrt{5} od 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-3x+1-1=-1$$

Oduzimanjem 1 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-3x=-1$$

Podijelite -3, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{3}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{3}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{3}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Saberite -1 i \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Dodajte \frac{3}{2} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$