Riješi x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Riješite za x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -3 sa b i 1 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Riješite jednačinu x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Da bi proizvod bio negativan, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} i x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} moraju imati suprotne predznake. Razmotrite slučaj kad je x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} pozitivno, a x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} negativno.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Ovo je netačno za svaki x.

$$x\in \emptyset$$

Razmotrite slučaj kad je x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} pozitivno, a x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} negativno.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$