Riješi x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Riješite za x

$$x=8$$

$$x=13$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-21x+104 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-21 ab=104$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -21.

$$a=-13 b=-8$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-13=0 i x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+104. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -21.

$$a=-13 b=-8$$

Ponovo napišite x^{2}-21x+104 kao \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Isključite x u prvoj i -8 drugoj grupi.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Izdvojite obični izraz x-13 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-13=0 i x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -21 i b, kao i 104 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Pomnožite -4 i 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Saberite 441 i -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Opozit broja -21 je 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{21±5}{2} kada je ± plus. Saberite 21 i 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Podijelite 26 sa 2.

$$x=13$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{21±5}{2} kada je ± minus. Oduzmite 5 od 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Podijelite 16 sa 2.

$$x=8$$

Jednačina je riješena.

$$x=13 x=8$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Oduzmite 104 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Oduzimanjem 104 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

Podijelite -21, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{21}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{21}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{21}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Saberite -104 i \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Dodajte \frac{21}{2} na obje strane jednačine.

$$x=13 x=8$$