Riješi x^2-11x+30=0

$${ x }^{ 2 } -11x+30=0$$

Riješite za x

$$x=5$$

$$x=6$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-11x+30 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=30$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -11.

$$a=-6 b=-5$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-6=0 i x-5=0.

$$x=6 x=5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+30. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=1\times 30=30$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -11.

$$a=-6 b=-5$$

Ponovo napišite x^{2}-11x+30 kao \left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-5x+30\right)$$

Isključite x u prvoj i -5 drugoj grupi.

$$x\left(x-6\right)-5\left(x-6\right)$$

Izdvojite obični izraz x-6 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-6\right)\left(x-5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-6=0 i x-5=0.

$$x=6 x=5$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -11 i b, kao i 30 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 30}}{2}$$

Pomnožite -4 i 30.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2}$$

Saberite 121 i -120.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±1}{2}$$

Opozit broja -11 je 11.

$$x=\frac{11±1}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{11±1}{2} kada je ± plus. Saberite 11 i 1.

$$x=\frac{12}{2}$$

Podijelite 12 sa 2.

$$x=6$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{11±1}{2} kada je ± minus. Oduzmite 1 od 11.

$$x=\frac{10}{2}$$

Podijelite 10 sa 2.

$$x=5$$

Jednačina je riješena.

$$x=6 x=5$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+30=0$$

Oduzmite 30 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-11x+30-30=-30$$

Oduzimanjem 30 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-11x=-30$$

Podijelite -11, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{11}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{11}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{11}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-30+\frac{121}{4}$$

Saberite -30 i \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$$

Dodajte \frac{11}{2} na obje strane jednačine.

$$x=6 x=5$$