Riješi x^2-10x-11=0

$${ x }^{ 2 } -10x-11=0$$

Riješite za x

$$x=-1$$

$$x=11$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-10x-11 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-10 ab=-11$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=-11 b=1$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-11\right)\left(x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-11=0 i x+1=0.

$$x=11 x=-1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-11. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-10 ab=1\left(-11\right)=-11$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=-11 b=1$$

Ponovo napišite x^{2}-10x-11 kao \left(x^{2}-11x\right)+\left(x-11\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(x-11\right)$$

Izdvojite x iz x^{2}-11x.

$$x\left(x-11\right)+x-11$$

Izdvojite obični izraz x-11 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-11\right)\left(x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-11=0 i x+1=0.

$$x=11 x=-1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-10x-11=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -10 i b, kao i -11 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-11\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+44}}{2}$$

Saberite 100 i 44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 144.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±12}{2}$$

Opozit broja -10 je 10.

$$x=\frac{10±12}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{10±12}{2} kada je ± plus. Saberite 10 i 12.

$$x=\frac{22}{2}$$

Podijelite 22 sa 2.

$$x=11$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{10±12}{2} kada je ± minus. Oduzmite 12 od 10.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Podijelite -2 sa 2.

$$x=-1$$

Jednačina je riješena.

$$x=11 x=-1$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x-11=0$$

Dodajte 11 na obje strane jednačine.

$$x^{2}-10x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Oduzimanjem -11 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-10x=-\left(-11\right)$$

Oduzmite -11 od 0.

$$x^{2}-10x=11$$

Podijelite -10, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -5. Zatim dodajte kvadrat od -5 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=11+\left(-5\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -5.

$$x^{2}-10x+25=11+25$$

Saberite 11 i 25.

$$x^{2}-10x+25=36$$

Faktorirajte x^{2}-10x+25. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=36$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Pojednostavite.

$$x-5=6 x-5=-6$$

Dodajte 5 na obje strane jednačine.

$$x=11 x=-1$$