Riješi left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Riješite za x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}+22x+121, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombinirajte x^{2} i -x^{2} da biste dobili 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombinirajte 28x i -22x da biste dobili 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Oduzmite 121 od 196 da biste dobili 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Oduzmite x^{2} s obje strane.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Dodajte 12x na obje strane.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Kombinirajte 6x i 12x da biste dobili 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Oduzmite 36 s obje strane.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Oduzmite 36 od 75 da biste dobili 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -1 i a, 18 i b, kao i 39 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 i 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Saberite 324 i 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 i -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} kada je ± plus. Saberite -18 i 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Podijelite -18+4\sqrt{30} sa -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} kada je ± minus. Oduzmite 4\sqrt{30} od -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Podijelite -18-4\sqrt{30} sa -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Jednačina je riješena.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}+22x+121, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombinirajte x^{2} i -x^{2} da biste dobili 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombinirajte 28x i -22x da biste dobili 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Oduzmite 121 od 196 da biste dobili 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Oduzmite x^{2} s obje strane.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Dodajte 12x na obje strane.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Kombinirajte 6x i 12x da biste dobili 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Oduzmite 75 s obje strane.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Oduzmite 75 od 36 da biste dobili -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Podijelite obje strane s -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Dijelјenje sa -1 poništava množenje sa -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Podijelite 18 sa -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Podijelite -39 sa -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Podijelite -18, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -9. Zatim dodajte kvadrat od -9 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -9.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Saberite 39 i 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Faktor x^{2}-18x+81. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Pojednostavite.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Dodajte 9 na obje strane jednačine.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$