Riješi left(3x+5right)^2+5left(3x+5right)+6=0

$${ \left(3x+5 \right) }^{ 2 } +5 \left( 3x+5 \right) +6=0$$

Riješite za x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 5 sa 3x+5.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Kombinirajte 30x i 15x da biste dobili 45x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Saberite 25 i 25 da biste dobili 50.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Saberite 50 i 6 da biste dobili 56.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 9x^{2}+ax+bx+56. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=45 ab=9\times 56=504$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 504.

$$1,504 2,252 3,168 4,126 6,84 7,72 8,63 9,56 12,42 14,36 18,28 21,24$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+504=505 2+252=254 3+168=171 4+126=130 6+84=90 7+72=79 8+63=71 9+56=65 12+42=54 14+36=50 18+28=46 21+24=45$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 45.

$$a=21 b=24$$

Ponovo napišite 9x^{2}+45x+56 kao \left(9x^{2}+21x\right)+\left(24x+56\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(24x+56\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 8 drugoj grupi.

$$3x\left(3x+7\right)+8\left(3x+7\right)$$

Izdvojite obični izraz 3x+7 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+8\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x+7=0 i 3x+8=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 5 sa 3x+5.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Kombinirajte 30x i 15x da biste dobili 45x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Saberite 25 i 25 da biste dobili 50.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Saberite 50 i 6 da biste dobili 56.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 9 i a, 45 i b, kao i 56 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 9\times 56}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadrat od 45.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 9\times 56}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 i 9.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-36\times 56}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 i 56.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-2016}}{2\times 9}$$

Saberite 2025 i -2016.

$$x=\frac{-45±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 9.

$$x=\frac{-45±3}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 i 9.

$$x=\frac{-45±3}{18}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-45±3}{18} kada je ± plus. Saberite -45 i 3.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-42}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-45±3}{18} kada je ± minus. Oduzmite 3 od -45.

$$x=-\frac{48}{18}$$

Svedite razlomak \frac{-48}{18} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 6.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 5 sa 3x+5.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Kombinirajte 30x i 15x da biste dobili 45x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Saberite 25 i 25 da biste dobili 50.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Saberite 50 i 6 da biste dobili 56.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Oduzmite 56 s obje strane. Bilo šta oduzeto od nule daje svoju negaciju.

$$9x^{2}+45x=-56$$

Podijelite obje strane s 9.

$$\frac{9x^{2}+45x}{9}=-\frac{56}{9}$$

Dijelјenje sa 9 poništava množenje sa 9.

$$x^{2}+\frac{45}{9}x=-\frac{56}{9}$$

Podijelite 45 sa 9.

$$x^{2}+5x=-\frac{56}{9}$$

Podijelite 5, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{5}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{5}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{56}{9}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{5}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{56}{9}+\frac{25}{4}$$

Saberite -\frac{56}{9} i \frac{25}{4} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{36}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{6}$$

Oduzmite \frac{5}{2} s obje strane jednačine.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$