Riješi left(2x-5right)^2+x^2+6(2x-5)-12x+20=0

$${ \left(2x-5 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } +6(2x-5)-12x+20=0$$

Riješite za x

$$x=1$$

$$x=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Kombinirajte 4x^{2} i x^{2} da biste dobili 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 6 sa 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Kombinirajte -20x i 12x da biste dobili -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Oduzmite 30 od 25 da biste dobili -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Kombinirajte -8x i -12x da biste dobili -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Saberite -5 i 20 da biste dobili 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Podijelite obje strane s 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+3. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=-3 b=-1$$

Ponovo napišite x^{2}-4x+3 kao \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Isključite x u prvoj i -1 drugoj grupi.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Izdvojite obični izraz x-3 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-3=0 i x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Kombinirajte 4x^{2} i x^{2} da biste dobili 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 6 sa 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Kombinirajte -20x i 12x da biste dobili -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Oduzmite 30 od 25 da biste dobili -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Kombinirajte -8x i -12x da biste dobili -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Saberite -5 i 20 da biste dobili 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 5 i a, -20 i b, kao i 15 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadrat od -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 i 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 i 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Saberite 400 i -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Opozit broja -20 je 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 i 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{20±10}{10} kada je ± plus. Saberite 20 i 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Podijelite 30 sa 10.

$$x=3$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{20±10}{10} kada je ± minus. Oduzmite 10 od 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Podijelite 10 sa 10.

$$x=1$$

Jednačina je riješena.

$$x=3 x=1$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Kombinirajte 4x^{2} i x^{2} da biste dobili 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 6 sa 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Kombinirajte -20x i 12x da biste dobili -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Oduzmite 30 od 25 da biste dobili -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Kombinirajte -8x i -12x da biste dobili -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

Saberite -5 i 20 da biste dobili 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Oduzmite 15 s obje strane. Bilo šta oduzeto od nule daje svoju negaciju.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Podijelite obje strane s 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Dijelјenje sa 5 poništava množenje sa 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Podijelite -20 sa 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Podijelite -15 sa 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Podijelite -4, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -2. Zatim dodajte kvadrat od -2 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -2.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Saberite -3 i 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Pojednostavite.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Dodajte 2 na obje strane jednačine.

$$x=3 x=1$$