Riješi {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Procijeni

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Koraci za rješenje

Racionalizirajte imenilac broja \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} tako što ćete pomnožiti brojilac i imenilac sa \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Razmotrite \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \sqrt{3}. Izračunajte kvadrat od 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Oduzmite 1 od 3 da biste dobili 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Pomnožite \sqrt{3}+1 i \sqrt{3}+1 da biste dobili \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrat broja \sqrt{3} je 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Saberite 3 i 1 da biste dobili 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Podijelite svaki element izraza 4+2\sqrt{3} s 2 da biste dobili 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadrat broja \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Saberite 4 i 3 da biste dobili 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Proširi

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Koraci za rješenje

Racionalizirajte imenilac broja \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} tako što ćete pomnožiti brojilac i imenilac sa \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Razmotrite \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \sqrt{3}. Izračunajte kvadrat od 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Oduzmite 1 od 3 da biste dobili 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Pomnožite \sqrt{3}+1 i \sqrt{3}+1 da biste dobili \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrat broja \sqrt{3} je 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Saberite 3 i 1 da biste dobili 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Podijelite svaki element izraza 4+2\sqrt{3} s 2 da biste dobili 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadrat broja \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Saberite 4 i 3 da biste dobili 7.

$$7+4\sqrt{3}$$