Riješi sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Koraci za rješenje

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{x} stepen od 2 i dobijte x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Oduzmite x^{2} s obje strane.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Dodajte 2x na obje strane.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Kombinirajte x i 2x da biste dobili 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Oduzmite 1 s obje strane.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -1 i a, 3 i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 i -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Saberite 9 i -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 i -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} kada je ± plus. Saberite -3 i \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Podijelite -3+\sqrt{5} sa -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} kada je ± minus. Oduzmite \sqrt{5} od -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Podijelite -3-\sqrt{5} sa -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Zamijenite \frac{3-\sqrt{5}}{2} za x u jednačini \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Pojednostavite. Vrijednost x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} ne zadovoljava jednačinu jer lijeva i desna strana imaju suprotan predznak.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Zamijenite \frac{\sqrt{5}+3}{2} za x u jednačini \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Pojednostavite. Vrijednost x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} zadovoljava jednačinu.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Jednačina \sqrt{x}=x-1 ima jedinstveno rješenje.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$