Riješi sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Riješite za x

$$x=14$$

$$x=6$$

Koraci za rješenje

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{2x-3} stepen od 2 i dobijte 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{x-5} stepen od 2 i dobijte x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Oduzmite 5 od 4 da biste dobili -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Oduzmite -1+x s obje strane jednačine.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od -1+x, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Saberite -3 i 1 da biste dobili -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Kombinirajte 2x i -x da biste dobili x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Proširite \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Izračunajte 4 stepen od 2 i dobijte 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{x-5} stepen od 2 i dobijte x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 16 sa x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Oduzmite 16x s obje strane.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Kombinirajte -4x i -16x da biste dobili -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Dodajte 80 na obje strane.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Saberite 4 i 80 da biste dobili 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-20x+84 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-20 ab=84$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -20.

$$a=-14 b=-6$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-14=0 i x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Zamijenite 14 za x u jednačini \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Pojednostavite. Vrijednost x=14 zadovoljava jednačinu.

$$5=5$$

Zamijenite 6 za x u jednačini \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Pojednostavite. Vrijednost x=6 zadovoljava jednačinu.

$$3=3$$

Spisak svih rješenja izraza \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$