Riješi sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Riješite za x

$$x=3$$

Koraci za rješenje

Oduzmite \sqrt{2x-2} s obje strane jednačine.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{x-3} stepen od 2 i dobijte x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{2x-2} stepen od 2 i dobijte 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Oduzmite 2 od 4 da biste dobili 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Oduzmite 2+2x s obje strane jednačine.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 2+2x, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Oduzmite 2 od -3 da biste dobili -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Kombinirajte x i -2x da biste dobili -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Proširite \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Izračunajte -4 stepen od 2 i dobijte 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{2x-2} stepen od 2 i dobijte 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 16 sa 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Oduzmite 32x s obje strane.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Kombinirajte 10x i -32x da biste dobili -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Dodajte 32 na obje strane.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Saberite 25 i 32 da biste dobili 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-22x+57 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-22 ab=57$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -22.

$$a=-19 b=-3$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-19=0 i x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Zamijenite 19 za x u jednačini \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Pojednostavite. Vrijednost x=19 ne zadovoljava jednačinu.

$$10=2$$

Zamijenite 3 za x u jednačini \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Pojednostavite. Vrijednost x=3 zadovoljava jednačinu.

$$2=2$$

Jednačina \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 ima jedinstveno rješenje.

$$x=3$$