Riješi sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Riješite za x

$$x=9$$

Koraci za rješenje

Oduzmite -\sqrt{13-x} s obje strane jednačine.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{x+7} stepen od 2 i dobijte x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{13-x} stepen od 2 i dobijte 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Saberite 4 i 13 da biste dobili 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Oduzmite 17-x s obje strane jednačine.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 17-x, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Oduzmite 17 od 7 da biste dobili -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Kombinirajte x i x da biste dobili 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Proširite \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Izračunajte 4 stepen od 2 i dobijte 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{13-x} stepen od 2 i dobijte 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 16 sa 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Oduzmite 208 s obje strane.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Oduzmite 208 od 100 da biste dobili -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Dodajte 16x na obje strane.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Kombinirajte -40x i 16x da biste dobili -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-27. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -27.

$$1,-27 3,-9$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -6.

$$a=-9 b=3$$

Ponovo napišite x^{2}-6x-27 kao \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Isključite x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Izdvojite obični izraz x-9 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-9=0 i x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Zamijenite 9 za x u jednačini \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Pojednostavite. Vrijednost x=9 zadovoljava jednačinu.

$$2=2$$

Zamijenite -3 za x u jednačini \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Pojednostavite. Vrijednost x=-3 ne zadovoljava jednačinu jer lijeva i desna strana imaju suprotan predznak.

$$-2=2$$

Zamijenite 9 za x u jednačini \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Pojednostavite. Vrijednost x=9 zadovoljava jednačinu.

$$2=2$$

Jednačina \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 ima jedinstveno rješenje.

$$x=9$$