Riješi sqrt{3x+1}-sqrt{x-1}-2=0

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { x - 1 } - 2 = 0$$

Riješite za x

$$x=5$$

$$x=1$$

Koraci za rješenje

Oduzmite -\sqrt{x-1}-2 s obje strane jednačine.

$$\sqrt{3x+1}=-\left(-\sqrt{x-1}-2\right)$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od -\sqrt{x-1}-2, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$\sqrt{3x+1}=-\left(-\sqrt{x-1}\right)-\left(-2\right)$$

Opozit broja -\sqrt{x-1} je \sqrt{x-1}.

$$\sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}-\left(-2\right)$$

Opozit broja -2 je 2.

$$\sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}+2\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{3x+1} stepen od 2 i dobijte 3x+1.

$$3x+1=\left(\sqrt{x-1}+2\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(\sqrt{x-1}+2\right)^{2}.

$$3x+1=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}+4\sqrt{x-1}+4$$

Izračunajte \sqrt{x-1} stepen od 2 i dobijte x-1.

$$3x+1=x-1+4\sqrt{x-1}+4$$

Saberite -1 i 4 da biste dobili 3.

$$3x+1=x+3+4\sqrt{x-1}$$

Oduzmite x+3 s obje strane jednačine.

$$3x+1-\left(x+3\right)=4\sqrt{x-1}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x+3, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$3x+1-x-3=4\sqrt{x-1}$$

Kombinirajte 3x i -x da biste dobili 2x.

$$2x+1-3=4\sqrt{x-1}$$

Oduzmite 3 od 1 da biste dobili -2.

$$2x-2=4\sqrt{x-1}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(2x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=\left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Proširite \left(4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}-8x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte 4 stepen od 2 i dobijte 16.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{x-1} stepen od 2 i dobijte x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16\left(x-1\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 16 sa x-1.

$$4x^{2}-8x+4=16x-16$$

Oduzmite 16x s obje strane.

$$4x^{2}-8x+4-16x=-16$$

Kombinirajte -8x i -16x da biste dobili -24x.

$$4x^{2}-24x+4=-16$$

Dodajte 16 na obje strane.

$$4x^{2}-24x+4+16=0$$

Saberite 4 i 16 da biste dobili 20.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+5. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Ponovo napišite x^{2}-6x+5 kao \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

Isključite x u prvoj i -1 drugoj grupi.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Izdvojite obični izraz x-5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-5=0 i x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Zamijenite 5 za x u jednačini \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}-2=0.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{5-1}-2=0$$

Pojednostavite. Vrijednost x=5 zadovoljava jednačinu.

$$0=0$$

Zamijenite 1 za x u jednačini \sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}-2=0.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{1-1}-2=0$$

Pojednostavite. Vrijednost x=1 zadovoljava jednačinu.

$$0=0$$

Spisak svih rješenja izraza \sqrt{3x+1}=\sqrt{x-1}+2.

$$x=5 x=1$$