Riješi sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Riješite za x

$$x=5$$

$$x=1$$

Koraci za rješenje

Oduzmite -\sqrt{2x-1} s obje strane jednačine.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{3x+1} stepen od 2 i dobijte 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{2x-1} stepen od 2 i dobijte 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Oduzmite 1 od 1 da biste dobili 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Oduzmite 2x s obje strane jednačine.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Kombinirajte 3x i -2x da biste dobili x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Proširite \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte 2 stepen od 2 i dobijte 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{2x-1} stepen od 2 i dobijte 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 4 sa 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Oduzmite 8x s obje strane.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Kombinirajte 2x i -8x da biste dobili -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Dodajte 4 na obje strane.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Saberite 1 i 4 da biste dobili 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-6x+5 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-6 ab=5$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-5=0 i x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Zamijenite 5 za x u jednačini \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Pojednostavite. Vrijednost x=5 zadovoljava jednačinu.

$$1=1$$

Zamijenite 1 za x u jednačini \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Pojednostavite. Vrijednost x=1 zadovoljava jednačinu.

$$1=1$$

Spisak svih rješenja izraza \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$