Riješi sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Koraci za rješenje

Oduzmite -\sqrt{15+x^{2}} s obje strane jednačine.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{25-x^{2}} stepen od 2 i dobijte 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{15+x^{2}} stepen od 2 i dobijte 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Saberite 16 i 15 da biste dobili 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Oduzmite 31+x^{2} s obje strane jednačine.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 31+x^{2}, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Oduzmite 31 od 25 da biste dobili -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kombinirajte -x^{2} i -x^{2} da biste dobili -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Da biste podigli stepen na neki drugi stepen, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Proširite \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte 8 stepen od 2 i dobijte 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{15+x^{2}} stepen od 2 i dobijte 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 64 sa 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Oduzmite 960 s obje strane.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Oduzmite 960 od 36 da biste dobili -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Oduzmite 64x^{2} s obje strane.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Kombinirajte 24x^{2} i -64x^{2} da biste dobili -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Zamijenite t za x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 4 sa a, -40 sa b i -924 sa c u kvadratnoj formuli.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Izvršite računanje.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Riješite jednačinu t=\frac{40±128}{8} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$t=21 t=-11$$

Pošto je x=t^{2}, rješenja se izračunavaju procjenjivanjem x=±\sqrt{t} za svaki t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Zamijenite -\sqrt{21} za x u jednačini \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Pojednostavite. Vrijednost x=-\sqrt{21} ne zadovoljava jednačinu jer lijeva i desna strana imaju suprotan predznak.

$$-4=4$$

Zamijenite \sqrt{21} za x u jednačini \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Pojednostavite. Vrijednost x=\sqrt{21} ne zadovoljava jednačinu jer lijeva i desna strana imaju suprotan predznak.

$$-4=4$$

Zamijenite -\sqrt{11}i za x u jednačini \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Pojednostavite. Vrijednost x=-\sqrt{11}i zadovoljava jednačinu.

$$4=4$$

Zamijenite \sqrt{11}i za x u jednačini \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Pojednostavite. Vrijednost x=\sqrt{11}i zadovoljava jednačinu.

$$4=4$$

Spisak svih rješenja izraza \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$