Riješi sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Riješite za x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Koraci za rješenje

Oduzmite -\sqrt{19-x^{2}} s obje strane jednačine.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{15+x^{2}} stepen od 2 i dobijte 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{19-x^{2}} stepen od 2 i dobijte 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Saberite 4 i 19 da biste dobili 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Oduzmite 23-x^{2} s obje strane jednačine.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 23-x^{2}, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Oduzmite 23 od 15 da biste dobili -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Kombinirajte x^{2} i x^{2} da biste dobili 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Da biste podigli stepen na neki drugi stepen, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Proširite \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte 4 stepen od 2 i dobijte 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{19-x^{2}} stepen od 2 i dobijte 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 16 sa 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Oduzmite 304 s obje strane.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Oduzmite 304 od 64 da biste dobili -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Dodajte 16x^{2} na obje strane.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Kombinirajte -32x^{2} i 16x^{2} da biste dobili -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Zamijenite t za x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 4 sa a, -16 sa b i -240 sa c u kvadratnoj formuli.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Izvršite računanje.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Riješite jednačinu t=\frac{16±64}{8} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$t=10 t=-6$$

Pošto je x=t^{2}, rješenja se izračunavaju procjenjivanjem x=±\sqrt{t} za pozitivni t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Zamijenite \sqrt{10} za x u jednačini \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Pojednostavite. Vrijednost x=\sqrt{10} zadovoljava jednačinu.

$$2=2$$

Zamijenite -\sqrt{10} za x u jednačini \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Pojednostavite. Vrijednost x=-\sqrt{10} zadovoljava jednačinu.

$$2=2$$

Spisak svih rješenja izraza \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$