Riješi {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Riješite za y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za y tako što ćete izdvojiti y na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$y-2x=4$$

Dodajte 2x na obje strane jednačine.

$$y=2x+4$$

Zamijenite 4+2x za y u drugoj jednačini, 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Pomnožite 3 i 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Saberite 6x i 2x.

$$8x+12=28$$

Oduzmite 12 s obje strane jednačine.

$$8x=16$$

Podijelite obje strane s 8.

$$x=2$$

Zamijenite 2 za x u y=2x+4. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y=2\times 2+4$$

Pomnožite 2 i 2.

$$y=4+4$$

Saberite 4 i 4.

$$y=8$$

Sistem je riješen.

$$y=8,x=2$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=8,x=2$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Da bi y i 3y bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 3 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Pojednostavite.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Oduzmite 3y+2x=28 od 3y-6x=12 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Saberite 3y i -3y. Izrazi 3y i -3y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-6x-2x=12-28$$

Saberite -6x i -2x.

$$-8x=12-28$$

Saberite 12 i -28.

$$-8x=-16$$

Podijelite obje strane s -8.

$$x=2$$

Zamijenite 2 za x u 3y+2x=28. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$3y+2\times 2=28$$

Pomnožite 2 i 2.

$$3y+4=28$$

Oduzmite 4 s obje strane jednačine.

$$3y=24$$

Podijelite obje strane s 3.

$$y=8$$

Sistem je riješen.

$$y=8,x=2$$