Riješi {l}{y=x}{y=-x+2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x } \\ { y = - x + 2 } \end{array} \right\}$$

Riješite za y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite x s obje strane.

$$y-x=0$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte x na obje strane.

$$y+x=2$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$y-x=0,y+x=2$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za y tako što ćete izdvojiti y na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$y-x=0$$

Dodajte x na obje strane jednačine.

$$y=x$$

Zamijenite x za y u drugoj jednačini, y+x=2.

$$x+x=2$$

Saberite x i x.

$$2x=2$$

Podijelite obje strane s 2.

$$x=1$$

Zamijenite 1 za x u y=x. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y=1$$

Sistem je riješen.

$$y=1,x=1$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite x s obje strane.

$$y-x=0$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte x na obje strane.

$$y+x=2$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$y-x=0,y+x=2$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=1,x=1$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite x s obje strane.

$$y-x=0$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte x na obje strane.

$$y+x=2$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$y-x=0,y+x=2$$

Oduzmite y+x=2 od y-x=0 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$y-y-x-x=-2$$

Saberite y i -y. Izrazi y i -y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-x-x=-2$$

Saberite -x i -x.

$$-2x=-2$$

Podijelite obje strane s -2.

$$x=1$$

Zamijenite 1 za x u y+x=2. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y+1=2$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$y=1$$

Sistem je riješen.

$$y=1,x=1$$