Riješi {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Riješite za y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 3x s obje strane.

$$y-3x=0$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za y tako što ćete izdvojiti y na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$y-3x=0$$

Dodajte 3x na obje strane jednačine.

$$y=3x$$

Zamijenite 3x za y u drugoj jednačini, y+x=16.

$$3x+x=16$$

Saberite 3x i x.

$$4x=16$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x=4$$

Zamijenite 4 za x u y=3x. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y=3\times 4$$

Pomnožite 3 i 4.

$$y=12$$

Sistem je riješen.

$$y=12,x=4$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 3x s obje strane.

$$y-3x=0$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=12,x=4$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 3x s obje strane.

$$y-3x=0$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Oduzmite y+x=16 od y-3x=0 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$y-y-3x-x=-16$$

Saberite y i -y. Izrazi y i -y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-3x-x=-16$$

Saberite -3x i -x.

$$-4x=-16$$

Podijelite obje strane s -4.

$$x=4$$

Zamijenite 4 za x u y+x=16. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y+4=16$$

Oduzmite 4 s obje strane jednačine.

$$y=12$$

Sistem je riješen.

$$y=12,x=4$$