Riješi {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Riješite za x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Dodajte y na obje strane.

$$x+y=0$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$x+y=0$$

Oduzmite y s obje strane jednačine.

$$x=-y$$

Zamijenite -y za x u drugoj jednačini, 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Pomnožite 2 i -y.

$$-2y+y=5$$

Saberite -2y i y.

$$-y=5$$

Podijelite obje strane s -1.

$$y=-5$$

Zamijenite -5 za y u x=-y. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\left(-5\right)$$

Pomnožite -1 i -5.

$$x=5$$

Sistem je riješen.

$$x=5,y=-5$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Dodajte y na obje strane.

$$x+y=0$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=5,y=-5$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Dodajte y na obje strane.

$$x+y=0$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Oduzmite 2x+y=5 od x+y=0 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$x-2x+y-y=-5$$

Saberite y i -y. Izrazi y i -y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$x-2x=-5$$

Saberite x i -2x.

$$-x=-5$$

Podijelite obje strane s -1.

$$x=5$$

Zamijenite 5 za x u 2x+y=5. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$2\times 5+y=5$$

Pomnožite 2 i 5.

$$10+y=5$$

Oduzmite 10 s obje strane jednačine.

$$y=-5$$

Sistem je riješen.

$$x=5,y=-5$$