Riješi {l}{x+y=5}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right\}$$

Riješite za x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$x+y=5,x-y=1$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$x+y=5$$

Oduzmite y s obje strane jednačine.

$$x=-y+5$$

Zamijenite -y+5 za x u drugoj jednačini, x-y=1.

$$-y+5-y=1$$

Saberite -y i -y.

$$-2y+5=1$$

Oduzmite 5 s obje strane jednačine.

$$-2y=-4$$

Podijelite obje strane s -2.

$$y=2$$

Zamijenite 2 za y u x=-y+5. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-2+5$$

Saberite 5 i -2.

$$x=3$$

Sistem je riješen.

$$x=3,y=2$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$x+y=5,x-y=1$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=3,y=2$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$x+y=5,x-y=1$$

Oduzmite x-y=1 od x+y=5 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$x-x+y+y=5-1$$

Saberite x i -x. Izrazi x i -x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$y+y=5-1$$

Saberite y i y.

$$2y=5-1$$

Saberite 5 i -1.

$$2y=4$$

Podijelite obje strane s 2.

$$y=2$$

Zamijenite 2 za y u x-y=1. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x-2=1$$

Dodajte 2 na obje strane jednačine.

$$x=3$$

Sistem je riješen.

$$x=3,y=2$$