Riješi {l}{x+2y=7}{3x-2y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

Riješite za x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$x+2y=7$$

Oduzmite 2y s obje strane jednačine.

$$x=-2y+7$$

Zamijenite -2y+7 za x u drugoj jednačini, 3x-2y=-3.

$$3\left(-2y+7\right)-2y=-3$$

Pomnožite 3 i -2y+7.

$$-6y+21-2y=-3$$

Saberite -6y i -2y.

$$-8y+21=-3$$

Oduzmite 21 s obje strane jednačine.

$$-8y=-24$$

Podijelite obje strane s -8.

$$y=3$$

Zamijenite 3 za y u x=-2y+7. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-2\times 3+7$$

Pomnožite -2 i 3.

$$x=-6+7$$

Saberite 7 i -6.

$$x=1$$

Sistem je riješen.

$$x=1,y=3$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 3}&-\frac{2}{-2-2\times 3}\\-\frac{3}{-2-2\times 3}&\frac{1}{-2-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=1,y=3$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Da bi x i 3x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 3 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 1.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x-2y=-3$$

Pojednostavite.

$$3x+6y=21,3x-2y=-3$$

Oduzmite 3x-2y=-3 od 3x+6y=21 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$3x-3x+6y+2y=21+3$$

Saberite 3x i -3x. Izrazi 3x i -3x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$6y+2y=21+3$$

Saberite 6y i 2y.

$$8y=21+3$$

Saberite 21 i 3.

$$8y=24$$

Podijelite obje strane s 8.

$$y=3$$

Zamijenite 3 za y u 3x-2y=-3. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$3x-2\times 3=-3$$

Pomnožite -2 i 3.

$$3x-6=-3$$

Dodajte 6 na obje strane jednačine.

$$3x=3$$

Podijelite obje strane s 3.

$$x=1$$

Sistem je riješen.

$$x=1,y=3$$