Riješi {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Riješite za x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$x+2y=60$$

Oduzmite 2y s obje strane jednačine.

$$x=-2y+60$$

Zamijenite -2y+60 za x u drugoj jednačini, x-y=30.

$$-2y+60-y=30$$

Saberite -2y i -y.

$$-3y+60=30$$

Oduzmite 60 s obje strane jednačine.

$$-3y=-30$$

Podijelite obje strane s -3.

$$y=10$$

Zamijenite 10 za y u x=-2y+60. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-2\times 10+60$$

Pomnožite -2 i 10.

$$x=-20+60$$

Saberite 60 i -20.

$$x=40$$

Sistem je riješen.

$$x=40,y=10$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=40,y=10$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Oduzmite x-y=30 od x+2y=60 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Saberite x i -x. Izrazi x i -x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$2y+y=60-30$$

Saberite 2y i y.

$$3y=60-30$$

Saberite 60 i -30.

$$3y=30$$

Podijelite obje strane s 3.

$$y=10$$

Zamijenite 10 za y u x-y=30. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x-10=30$$

Dodajte 10 na obje strane jednačine.

$$x=40$$

Sistem je riješen.

$$x=40,y=10$$