Riješi {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Riješite za x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite drugu jednačinu. Oduzmite y s obje strane.

$$x-y=-5$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$x+2y=1$$

Oduzmite 2y s obje strane jednačine.

$$x=-2y+1$$

Zamijenite -2y+1 za x u drugoj jednačini, x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Saberite -2y i -y.

$$-3y+1=-5$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$-3y=-6$$

Podijelite obje strane s -3.

$$y=2$$

Zamijenite 2 za y u x=-2y+1. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-2\times 2+1$$

Pomnožite -2 i 2.

$$x=-4+1$$

Saberite 1 i -4.

$$x=-3$$

Sistem je riješen.

$$x=-3,y=2$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite drugu jednačinu. Oduzmite y s obje strane.

$$x-y=-5$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-3,y=2$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite drugu jednačinu. Oduzmite y s obje strane.

$$x-y=-5$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Oduzmite x-y=-5 od x+2y=1 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Saberite x i -x. Izrazi x i -x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$2y+y=1+5$$

Saberite 2y i y.

$$3y=1+5$$

Saberite 1 i 5.

$$3y=6$$

Podijelite obje strane s 3.

$$y=2$$

Zamijenite 2 za y u x-y=-5. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x-2=-5$$

Dodajte 2 na obje strane jednačine.

$$x=-3$$

Sistem je riješen.

$$x=-3,y=2$$