Riješi {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Riješite za x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$2x+y=3$$

Oduzmite y s obje strane jednačine.

$$2x=-y+3$$

Podijelite obje strane s 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} i -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Zamijenite \frac{-y+3}{2} za x u drugoj jednačini, x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Saberite -\frac{y}{2} i y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Oduzmite \frac{3}{2} s obje strane jednačine.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Pomnožite obje strane s 2.

$$y=7$$

Zamijenite 7 za y u x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Pomnožite -\frac{1}{2} i 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Saberite \frac{3}{2} i -\frac{7}{2} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x=-2$$

Sistem je riješen.

$$x=-2,y=7$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=-2,y=7$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Oduzmite x+y=5 od 2x+y=3 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Saberite y i -y. Izrazi y i -y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$2x-x=3-5$$

Saberite 2x i -x.

$$x=3-5$$

Saberite 3 i -5.

$$x=-2$$

Zamijenite -2 za x u x+y=5. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$-2+y=5$$

Dodajte 2 na obje strane jednačine.

$$y=7$$

Sistem je riješen.

$$x=-2,y=7$$