Riješi ∫ (from - 1 to 1) of t(1-t)^2dt

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } t ( 1 - t ) ^ { 2 } d t$$

Procijeni

$$-\frac{4}{3}\approx -1,333333333$$

Koraci za rješenje

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(1-t\right)^{2}.

$$\int _{-1}^{1}t\left(1-2t+t^{2}\right)\mathrm{d}t$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili t sa 1-2t+t^{2}.

$$\int _{-1}^{1}t-2t^{2}+t^{3}\mathrm{d}t$$

Prvo procijenite neodređeni integral.

$$\int t-2t^{2}+t^{3}\mathrm{d}t$$

Integrirajte zbir izraz po izraz.

$$\int t\mathrm{d}t+\int -2t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Izbacite konstantu u svakom od izraza.

$$\int t\mathrm{d}t-2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Od \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int t\mathrm{d}t sa \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{2}}{2}-2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Od \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int t^{2}\mathrm{d}t sa \frac{t^{3}}{3}. Pomnožite -2 i \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t^{3}}{3}+\int t^{3}\mathrm{d}t$$

Od \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int t^{3}\mathrm{d}t sa \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{2}}{2}-\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{4}}{4}$$

Pojednostavite.

$$\frac{t^{4}}{4}-\frac{2t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}$$

Određeni integral je antiderivat izraza procjenjivan na gornjoj granici integracije minus antiderivat ocijenjen na donjoj granici integracije.

$$\frac{1^{4}}{4}-\frac{2}{3}\times 1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}-\frac{2}{3}\left(-1\right)^{3}+\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}\right)$$

Pojednostavite.

$$-\frac{4}{3}$$