Riješi ∫ (x+1)(2x+2)(x+1)

$$\int ( x + 1 ) ( 2 x + 2 ) ( x + 1 )$$

Procijeni

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x+С$$

Koraci za rješenje

Pomnožite x+1 i x+1 da biste dobili \left(x+1\right)^{2}.

$$\int \left(x+1\right)^{2}\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+1\right)^{2}.

$$\int \left(x^{2}+2x+1\right)\left(2x+2\right)\mathrm{d}x$$

Primijenite distributivno svojstvo tako što ćete pomnožiti svaki izraz od x^{2}+2x+1 svakim izrazom od 2x+2.

$$\int 2x^{3}+2x^{2}+4x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Kombinirajte 2x^{2} i 4x^{2} da biste dobili 6x^{2}.

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+4x+2x+2\mathrm{d}x$$

Kombinirajte 4x i 2x da biste dobili 6x.

$$\int 2x^{3}+6x^{2}+6x+2\mathrm{d}x$$

Integrirajte zbir izraz po izraz.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int 6x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Izbacite konstantu u svakom od izraza.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x^{3}\mathrm{d}x sa \frac{x^{4}}{4}. Pomnožite 2 i \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+6\int x^{2}\mathrm{d}x+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x^{2}\mathrm{d}x sa \frac{x^{3}}{3}. Pomnožite 6 i \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+6\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Od \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamijenite \int x\mathrm{d}x sa \frac{x^{2}}{2}. Pomnožite 6 i \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Pronađite integral 2 koristeći tablicu pravila zajedničkih integrala \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+2x^{3}+3x^{2}+2x$$

Ako je F\left(x\right) antiderivat f\left(x\right), onda je set svih antiderivata f\left(x\right) dat F\left(x\right)+C. Stoga, dodajte konstantnu integraciju C\in \mathrm{R} na rezultat.

$$3x^{2}+2x^{3}+\frac{x^{4}}{2}+2x+С$$

Razlikovanje u pogledu x

$$2\left(x+1\right)^{3}$$