Riješi x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Riješite za x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti -\frac{1}{2},1 zato što dijeljenje nulom nije definirano. Pomnožite obje strane jednačine sa \left(x-1\right)\left(2x+1\right), najmanjim zajedničkim sadržaocem broja 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Pomnožite x-1 i x-1 da biste dobili \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Pomnožite 2x+1 i 2x+1 da biste dobili \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-1 s 2x+1 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x^{2}-x-1 sa 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Kombinirajte 4x^{2} i 6x^{2} da biste dobili 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Kombinirajte 4x i -3x da biste dobili x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Oduzmite 3 od 1 da biste dobili -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Oduzmite 10x^{2} s obje strane.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Kombinirajte x^{2} i -10x^{2} da biste dobili -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Oduzmite x s obje strane.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Kombinirajte -2x i -x da biste dobili -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Dodajte 2 na obje strane.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Saberite 1 i 2 da biste dobili 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -9 i a, -3 i b, kao i 3 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Izračunajte kvadrat od -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Pomnožite -4 i -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Pomnožite 36 i 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Saberite 9 i 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Opozit broja -3 je 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Pomnožite 2 i -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} kada je ± plus. Saberite 3 i 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Podijelite 3+3\sqrt{13} sa -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} kada je ± minus. Oduzmite 3\sqrt{13} od 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Podijelite 3-3\sqrt{13} sa -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti -\frac{1}{2},1 zato što dijeljenje nulom nije definirano. Pomnožite obje strane jednačine sa \left(x-1\right)\left(2x+1\right), najmanjim zajedničkim sadržaocem broja 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Pomnožite x-1 i x-1 da biste dobili \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Pomnožite 2x+1 i 2x+1 da biste dobili \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-1 s 2x+1 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x^{2}-x-1 sa 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Kombinirajte 4x^{2} i 6x^{2} da biste dobili 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Kombinirajte 4x i -3x da biste dobili x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Oduzmite 3 od 1 da biste dobili -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Oduzmite 10x^{2} s obje strane.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Kombinirajte x^{2} i -10x^{2} da biste dobili -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Oduzmite x s obje strane.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Kombinirajte -2x i -x da biste dobili -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Oduzmite 1 s obje strane.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Oduzmite 1 od -2 da biste dobili -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Podijelite obje strane s -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Dijelјenje sa -9 poništava množenje sa -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Svedite razlomak \frac{-3}{-9} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Svedite razlomak \frac{-3}{-9} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Podijelite \frac{1}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{1}{6}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{1}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{1}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Saberite \frac{1}{3} i \frac{1}{36} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Faktorirajte x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Uopćeno govoreći, kada je x^{2}+bx+c savršeni kvadrat, on se uvijek može faktorirati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Oduzmite \frac{1}{6} s obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$