Riješi x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Riješite za x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 21, najmanjim zajedničkim sadržaocem broja 7,3.

$$3x+7y=105$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 14.

$$-x+42y=364$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$3x+7y=105$$

Oduzmite 7y s obje strane jednačine.

$$3x=-7y+105$$

Podijelite obje strane s 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} i -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Zamijenite -\frac{7y}{3}+35 za x u drugoj jednačini, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Pomnožite -1 i -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Saberite \frac{7y}{3} i 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Dodajte 35 na obje strane jednačine.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{133}{3}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$y=9$$

Zamijenite 9 za y u x=-\frac{7}{3}y+35. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Pomnožite -\frac{7}{3} i 9.

$$x=-21+35$$

Saberite 35 i -21.

$$x=14$$

Sistem je riješen.

$$x=14,y=9$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 21, najmanjim zajedničkim sadržaocem broja 7,3.

$$3x+7y=105$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 14.

$$-x+42y=364$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=14,y=9$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 21, najmanjim zajedničkim sadržaocem broja 7,3.

$$3x+7y=105$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 14.

$$-x+42y=364$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Da bi 3x i -x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa -1 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Pojednostavite.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Oduzmite -3x+126y=1092 od -3x-7y=-105 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Saberite -3x i 3x. Izrazi -3x i 3x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Saberite -7y i -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Saberite -105 i -1092.

$$-133y=-1197$$

Podijelite obje strane s -133.

$$y=9$$

Zamijenite 9 za y u -x+42y=364. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$-x+42\times 9=364$$

Pomnožite 42 i 9.

$$-x+378=364$$

Oduzmite 378 s obje strane jednačine.

$$-x=-14$$

Podijelite obje strane s -1.

$$x=14$$

Sistem je riješen.

$$x=14,y=9$$