Riješi x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Riješite za x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 20, najmanjim zajedničkim sadržaocem broja 5,4.

$$4x=5y$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Pomnožite \frac{1}{4} i 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Zamijenite \frac{5y}{4} za x u drugoj jednačini, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Saberite -\frac{5y}{4} i y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Pomnožite obje strane s -4.

$$y=12$$

Zamijenite 12 za y u x=\frac{5}{4}y. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Pomnožite \frac{5}{4} i 12.

$$x=15$$

Sistem je riješen.

$$x=15,y=12$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 20, najmanjim zajedničkim sadržaocem broja 5,4.

$$4x=5y$$

Oduzmite 5y s obje strane.

$$4x-5y=0$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 3.

$$y=x-3$$

Oduzmite x s obje strane.

$$y-x=-3$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=15,y=12$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 20, najmanjim zajedničkim sadržaocem broja 5,4.

$$4x=5y$$

Oduzmite 5y s obje strane.

$$4x-5y=0$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Pomnožite obje strane jednačine sa 3.

$$y=x-3$$

Oduzmite x s obje strane.

$$y-x=-3$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Da bi 4x i -x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa -1 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Pojednostavite.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Oduzmite -4x+4y=-12 od -4x+5y=0 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Saberite -4x i 4x. Izrazi -4x i 4x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$5y-4y=12$$

Saberite 5y i -4y.

$$y=12$$

Zamijenite 12 za y u -x+y=-3. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$-x+12=-3$$

Oduzmite 12 s obje strane jednačine.

$$-x=-15$$

Podijelite obje strane s -1.

$$x=15$$

Sistem je riješen.

$$x=15,y=12$$