Riješi x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Riješite za x

$$x=2$$

$$x=-2$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti -1,1 zato što dijeljenje nulom nije definirano. Pomnožite obje strane jednačine sa \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}, najmanjim zajedničkim sadržaocem broja \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili x^{2}+2x+1 sa x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili x^{2}-2x+1 sa x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kombinirajte x^{5} i -x^{5} da biste dobili 0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kombinirajte -x^{2} i -x^{2} da biste dobili -2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kombinirajte 2x^{4} i 2x^{4} da biste dobili 4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kombinirajte -2x i 2x da biste dobili 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Kombinirajte x^{3} i -x^{3} da biste dobili 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Oduzmite 1 od -1 da biste dobili -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 6 sa x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 6x^{2}-12x+6 s x^{2}+2x+1 i kombinirali slične pojmove.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Oduzmite 6x^{4} s obje strane.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

Kombinirajte 4x^{4} i -6x^{4} da biste dobili -2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Dodajte 12x^{2} na obje strane.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

Kombinirajte -2x^{2} i 12x^{2} da biste dobili 10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Oduzmite 6 s obje strane.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

Oduzmite 6 od -2 da biste dobili -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

Zamijenite t za x^{2}.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite -2 sa a, 10 sa b i -8 sa c u kvadratnoj formuli.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Izvršite računanje.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Riješite jednačinu t=\frac{-10±6}{-4} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$t=1 t=4$$

Pošto je x=t^{2}, rješenja se izračunavaju procjenjivanjem x=±\sqrt{t} za svaki t.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti 1,-1.

$$x=-2 x=2$$