Riješi x^2-2/x^2+x-2+3x+2/x^2-4=1-x+2/x^2-3x+2

$$\frac { x ^ { 2 } - 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 3 x + 2 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1 - \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 }$$

Riješite za x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti -2,1,2 zato što dijeljenje nulom nije definirano. Pomnožite obje strane jednačine sa \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), najmanjim zajedničkim sadržaocem broja x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Pomnožite x+2 i x+2 da biste dobili \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili x-2 sa x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-1 s 3x+2 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombinirajte -2x^{2} i 3x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombinirajte -2x i -x da biste dobili -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Oduzmite 2 od 4 da biste dobili 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-2 s x-1 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x^{2}-3x+2 s x+2 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}+4x+4, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Kombinirajte -x^{2} i -x^{2} da biste dobili -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Kombinirajte -4x i -4x da biste dobili -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Oduzmite 4 od 4 da biste dobili 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Oduzmite x^{3} s obje strane.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Kombinirajte x^{3} i -x^{3} da biste dobili 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Dodajte 2x^{2} na obje strane.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Kombinirajte x^{2} i 2x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Dodajte 8x na obje strane.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Kombinirajte -3x i 8x da biste dobili 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Postavite termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx+2. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 6.

$$1,6 2,3$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+6=7 2+3=5$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 5.

$$a=2 b=3$$

Ponovo napišite 3x^{2}+5x+2 kao \left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

Izdvojite x iz 3x^{2}+2x.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

Izdvojite obični izraz 3x+2 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite 3x+2=0 i x+1=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti -2,1,2 zato što dijeljenje nulom nije definirano. Pomnožite obje strane jednačine sa \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), najmanjim zajedničkim sadržaocem broja x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Pomnožite x+2 i x+2 da biste dobili \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili x-2 sa x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-1 s 3x+2 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombinirajte -2x^{2} i 3x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombinirajte -2x i -x da biste dobili -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Oduzmite 2 od 4 da biste dobili 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-2 s x-1 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x^{2}-3x+2 s x+2 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}+4x+4, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Kombinirajte -x^{2} i -x^{2} da biste dobili -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Kombinirajte -4x i -4x da biste dobili -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Oduzmite 4 od 4 da biste dobili 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Oduzmite x^{3} s obje strane.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Kombinirajte x^{3} i -x^{3} da biste dobili 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Dodajte 2x^{2} na obje strane.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Kombinirajte x^{2} i 2x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Dodajte 8x na obje strane.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Kombinirajte -3x i 8x da biste dobili 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, 5 i b, kao i 2 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Saberite 25 i -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{-5±1}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-5±1}{6} kada je ± plus. Saberite -5 i 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-4}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-5±1}{6} kada je ± minus. Oduzmite 1 od -5.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Podijelite -6 sa 6.

$$x=-1$$

Jednačina je riješena.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti -2,1,2 zato što dijeljenje nulom nije definirano. Pomnožite obje strane jednačine sa \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), najmanjim zajedničkim sadržaocem broja x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Pomnožite x+2 i x+2 da biste dobili \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili x-2 sa x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-1 s 3x+2 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombinirajte -2x^{2} i 3x^{2} da biste dobili x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Kombinirajte -2x i -x da biste dobili -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Oduzmite 2 od 4 da biste dobili 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x-2 s x-1 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili x^{2}-3x+2 s x+2 i kombinirali slične pojmove.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}+4x+4, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Kombinirajte -x^{2} i -x^{2} da biste dobili -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Kombinirajte -4x i -4x da biste dobili -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Oduzmite 4 od 4 da biste dobili 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Oduzmite x^{3} s obje strane.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Kombinirajte x^{3} i -x^{3} da biste dobili 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Dodajte 2x^{2} na obje strane.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Kombinirajte x^{2} i 2x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Dodajte 8x na obje strane.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Kombinirajte -3x i 8x da biste dobili 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Oduzmite 2 s obje strane. Bilo šta oduzeto od nule daje svoju negaciju.

$$5x+3x^{2}=-2$$

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=-2$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Podijelite \frac{5}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{5}{6}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{5}{6} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{5}{6} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Saberite -\frac{2}{3} i \frac{25}{36} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Oduzmite \frac{5}{6} s obje strane jednačine.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$