Riješi frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Riješite za k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Pomnožite obje strane jednačine sa 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, najmanjim zajedničkim sadržaocem broja \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Da biste podigli stepen na neki drugi stepen, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 6 sa k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Da biste podigli stepen na neki drugi stepen, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 9k^{4}-6k^{2}+1, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Kombinirajte 6k^{4} i -9k^{4} da biste dobili -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Kombinirajte 12k^{2} i 6k^{2} da biste dobili 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Oduzmite 1 od 6 da biste dobili 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 4 sa -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Da biste podigli stepen na neki drugi stepen, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 5 sa 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Oduzmite 45k^{4} s obje strane.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Kombinirajte -12k^{4} i -45k^{4} da biste dobili -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Oduzmite 30k^{2} s obje strane.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Kombinirajte 72k^{2} i -30k^{2} da biste dobili 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Oduzmite 5 s obje strane.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Oduzmite 5 od 20 da biste dobili 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Zamijenite t za k^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite -57 sa a, 42 sa b i 15 sa c u kvadratnoj formuli.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Izvršite računanje.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Riješite jednačinu t=\frac{-42±72}{-114} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Pošto je k=t^{2}, rješenja se izračunavaju procjenjivanjem k=±\sqrt{t} za pozitivni t.

$$k=1 k=-1$$

Riješite za k (complex solution)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0,512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0,512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$