Riješi frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Riješite za b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Koraci za rješavanje linearne jednačine

Racionalizirajte imenilac broja \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} tako što ćete pomnožiti brojilac i imenilac sa 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Razmotrite \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Izračunajte kvadrat od 2. Izračunajte kvadrat od \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Oduzmite 3 od 4 da biste dobili 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Svaki broj podijeljen sa jedan je taj broj.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Pomnožite 2+\sqrt{3} i 2+\sqrt{3} da biste dobili \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadrat broja \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Saberite 4 i 3 da biste dobili 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Zamijenite strane tako da svi promjenljivi izrazi budu na lijevoj strani.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Oduzmite a s obje strane.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Jednačina je u standardnom obliku.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Podijelite obje strane s \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Dijelјenje sa \sqrt{3} poništava množenje sa \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Podijelite 4\sqrt{3}-a+7 sa \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Riješite za a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$