Riješi 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Riješite za x

$$x=-1$$

Koraci za rješenje

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti -8,-5,-2,1 zato što dijeljenje nulom nije definirano. Pomnožite obje strane jednačine sa 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), najmanjim zajedničkim sadržaocem broja x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 21 sa x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 21x+105 s x+8 i kombinirali slične pojmove.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 21 sa x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 21x-21 s x+8 i kombinirali slične pojmove.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombinirajte 21x^{2} i 21x^{2} da biste dobili 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombinirajte 273x i 147x da biste dobili 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Oduzmite 168 od 840 da biste dobili 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 21 sa x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 21x+42 s x-1 i kombinirali slične pojmove.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombinirajte 42x^{2} i 21x^{2} da biste dobili 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Kombinirajte 420x i 21x da biste dobili 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Oduzmite 42 od 672 da biste dobili 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 7 sa x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 7x+14 s x+5 i kombinirali slične pojmove.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili 7x^{2}+49x+70 s x+8 i kombinirali slične pojmove.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Pomnožite 21 i -\frac{1}{21} da biste dobili -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili -1 sa x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili -x+1 s x+2 i kombinirali slične pojmove.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili -x^{2}-x+2 s x+5 i kombinirali slične pojmove.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Koristite svojstvo distributivnosti da biste pomnožili -x^{3}-6x^{2}-3x+10 s x+8 i kombinirali slične pojmove.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Kombinirajte 7x^{3} i -14x^{3} da biste dobili -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Kombinirajte 105x^{2} i -51x^{2} da biste dobili 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Kombinirajte 462x i -14x da biste dobili 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Saberite 560 i 80 da biste dobili 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Dodajte 7x^{3} na obje strane.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Oduzmite 54x^{2} s obje strane.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Kombinirajte 63x^{2} i -54x^{2} da biste dobili 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Oduzmite 448x s obje strane.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Kombinirajte 441x i -448x da biste dobili -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Oduzmite 640 s obje strane.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Oduzmite 640 od 630 da biste dobili -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Dodajte x^{4} na obje strane.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Poredajte termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -10 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 sa x-1 da biste dobili x^{3}+8x^{2}+17x+10. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 10 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{3}+8x^{2}+17x+10 sa x+1 da biste dobili x^{2}+7x+10. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, 7 sa b i 10 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Riješite jednačinu x^{2}+7x+10=0 kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=-5 x=-2$$

Uklonite vrijednosti kojima promjenljiva ne može biti jednaka.

$$x=-1$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Promjenjiva x ne može biti jednaka nijednoj od vrijednosti 1,-5,-2.

$$x=-1$$