Riješi frac{1/sqrt{5+sqrt{3}}}{1/sqrt{5}-sqrt{3}}

$$\frac { \frac { 1 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } } { \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } - \sqrt { 3 } }$$

Procijeni

$$-\frac{\sqrt{15}}{7}+\frac{5}{14}\approx -0,196140478$$

Kratki koraci rješenja

Racionalizirajte imenilac broja \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} tako što ćete pomnožiti brojilac i imenilac sa \sqrt{5}-\sqrt{3}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}}{\frac{1}{\sqrt{5}}-\sqrt{3}}$$

Razmotrite \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}-\sqrt{3}}$$

Izračunajte kvadrat od \sqrt{5}. Izračunajte kvadrat od \sqrt{3}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}}{\frac{1}{\sqrt{5}}-\sqrt{3}}$$

Oduzmite 3 od 5 da biste dobili 2.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{5}}-\sqrt{3}}$$

Racionalizirajte imenilac broja \frac{1}{\sqrt{5}} tako što ćete pomnožiti brojilac i imenilac sa \sqrt{5}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}}-\sqrt{3}}$$

Kvadrat broja \sqrt{5} je 5.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{5}-\sqrt{3}}$$

Da biste izvršili zbrajanje ili oduzimanje izraza, rastavite ih kako bi im nazivnici bili isti. Pomnožite \sqrt{3} i \frac{5}{5}.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{5\sqrt{3}}{5}}$$

Pošto \frac{\sqrt{5}}{5} i \frac{5\sqrt{3}}{5} imaju isti imenilac, oduzmite ih tako što ćete oduzeti njihove brojioce.

$$\frac{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{5}}$$

Podijelite \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} sa \frac{\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{5} tako što ćete pomnožiti \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} recipročnom vrijednošću od \frac{\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{5}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\times 5}{2\left(\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)}$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili \sqrt{5}-\sqrt{3} sa 5.

$$\frac{5\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{2\left(\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)}$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2 sa \sqrt{5}-5\sqrt{3}.

$$\frac{5\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{2\sqrt{5}-10\sqrt{3}}$$

Racionalizirajte imenilac broja \frac{5\sqrt{5}-5\sqrt{3}}{2\sqrt{5}-10\sqrt{3}} tako što ćete pomnožiti brojilac i imenilac sa 2\sqrt{5}+10\sqrt{3}.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{\left(2\sqrt{5}-10\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}$$

Razmotrite \left(2\sqrt{5}-10\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-\left(-10\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Proširite \left(2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(-10\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Izračunajte 2 stepen od 2 i dobijte 4.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{4\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(-10\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrat broja \sqrt{5} je 5.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{4\times 5-\left(-10\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Pomnožite 4 i 5 da biste dobili 20.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{20-\left(-10\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Proširite \left(-10\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{20-\left(-10\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Izračunajte -10 stepen od 2 i dobijte 100.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{20-100\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Kvadrat broja \sqrt{3} je 3.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{20-100\times 3}$$

Pomnožite 100 i 3 da biste dobili 300.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{20-300}$$

Oduzmite 300 od 20 da biste dobili -280.

$$\frac{\left(5\sqrt{5}-5\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{5}+10\sqrt{3}\right)}{-280}$$

Primijenite distributivno svojstvo tako što ćete pomnožiti svaki izraz od 5\sqrt{5}-5\sqrt{3} svakim izrazom od 2\sqrt{5}+10\sqrt{3}.

$$\frac{10\left(\sqrt{5}\right)^{2}+50\sqrt{3}\sqrt{5}-10\sqrt{3}\sqrt{5}-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-280}$$

Kvadrat broja \sqrt{5} je 5.

$$\frac{10\times 5+50\sqrt{3}\sqrt{5}-10\sqrt{3}\sqrt{5}-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-280}$$

Pomnožite 10 i 5 da biste dobili 50.

$$\frac{50+50\sqrt{3}\sqrt{5}-10\sqrt{3}\sqrt{5}-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-280}$$

Da biste pomnožili \sqrt{3} i \sqrt{5}, pomnožite brojeve u okviru kvadratnog korijena.

$$\frac{50+50\sqrt{15}-10\sqrt{3}\sqrt{5}-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-280}$$

Da biste pomnožili \sqrt{3} i \sqrt{5}, pomnožite brojeve u okviru kvadratnog korijena.

$$\frac{50+50\sqrt{15}-10\sqrt{15}-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-280}$$

Kombinirajte 50\sqrt{15} i -10\sqrt{15} da biste dobili 40\sqrt{15}.

$$\frac{50+40\sqrt{15}-50\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-280}$$

Kvadrat broja \sqrt{3} je 3.

$$\frac{50+40\sqrt{15}-50\times 3}{-280}$$

Pomnožite -50 i 3 da biste dobili -150.

$$\frac{50+40\sqrt{15}-150}{-280}$$

Oduzmite 150 od 50 da biste dobili -100.

$$\frac{-100+40\sqrt{15}}{-280}$$