Riješi =frac{sqrt{5}+sqrt{3}}{sqrt{5}-sqrt{3}}+frac{sqrt{5}-sqrt{3}}{sqrt{5}+sqrt{3}}

$$= \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } + \frac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } }$$

Procijeni

$$8$$

Koraci za rješenje

Racionalizirajte imenilac broja \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} tako što ćete pomnožiti brojilac i imenilac sa \sqrt{5}+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Razmotrite \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Izračunajte kvadrat od \sqrt{5}. Izračunajte kvadrat od \sqrt{3}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{5-3}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Oduzmite 3 od 5 da biste dobili 2.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Pomnožite \sqrt{5}+\sqrt{3} i \sqrt{5}+\sqrt{3} da biste dobili \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} da biste proširili \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Kvadrat broja \sqrt{5} je 5.

$$\frac{5+2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Da biste pomnožili \sqrt{5} i \sqrt{3}, pomnožite brojeve u okviru kvadratnog korijena.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Kvadrat broja \sqrt{3} je 3.

$$\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Saberite 5 i 3 da biste dobili 8.

$$\frac{8+2\sqrt{15}}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Podijelite svaki element izraza 8+2\sqrt{15} s 2 da biste dobili 4+\sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$

Racionalizirajte imenilac broja \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} tako što ćete pomnožiti brojilac i imenilac sa \sqrt{5}-\sqrt{3}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}$$

Razmotrite \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right). Množenje se može transformirati u razliku kvadrata pomoću pravila: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Izračunajte kvadrat od \sqrt{5}. Izračunajte kvadrat od \sqrt{3}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}$$

Oduzmite 3 od 5 da biste dobili 2.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}$$

Pomnožite \sqrt{5}-\sqrt{3} i \sqrt{5}-\sqrt{3} da biste dobili \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+\sqrt{15}+\frac{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

Kvadrat broja \sqrt{5} je 5.

$$4+\sqrt{15}+\frac{5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

Da biste pomnožili \sqrt{5} i \sqrt{3}, pomnožite brojeve u okviru kvadratnog korijena.

$$4+\sqrt{15}+\frac{5-2\sqrt{15}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2}$$

Kvadrat broja \sqrt{3} je 3.

$$4+\sqrt{15}+\frac{5-2\sqrt{15}+3}{2}$$

Saberite 5 i 3 da biste dobili 8.

$$4+\sqrt{15}+\frac{8-2\sqrt{15}}{2}$$

Podijelite svaki element izraza 8-2\sqrt{15} s 2 da biste dobili 4-\sqrt{15}.

$$4+\sqrt{15}+4-\sqrt{15}$$

Saberite 4 i 4 da biste dobili 8.

$$8+\sqrt{15}-\sqrt{15}$$

Kombinirajte \sqrt{15} i -\sqrt{15} da biste dobili 0.

$$8$$

Faktor

$$2^{3}$$