{l}{x-2y=5}{3x-y=10}-এর সমাধান করুন

$$\left.\begin{array} { l } { x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - y = 10 } \end{array} \right\}$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=3$$

$$y=-1$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x-2y=5,3x-y=10$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$x-2y=5$$

সমীকরণের উভয় দিকে 2y যোগ করুন।

$$x=2y+5$$

অন্য সমীকরণ 3x-y=10 এ x এর জন্য 2y+5 বিপরীত করু ন।

$$3\left(2y+5\right)-y=10$$

3 কে 2y+5 বার গুণ করুন।

$$6y+15-y=10$$

-y এ 6y যোগ করুন।

$$5y+15=10$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 15 বাদ দিন।

$$5y=-5$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-1$$

x=2y+5 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -1 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=2\left(-1\right)+5$$

2 কে -1 বার গুণ করুন।

$$x=-2+5$$

-2 এ 5 যোগ করুন।

$$x=3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=3,y=-1$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$x-2y=5,3x-y=10$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=3,y=-1$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$x-2y=5,3x-y=10$$

x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন।

$$3x+3\left(-2\right)y=3\times 5,3x-y=10$$

সিমপ্লিফাই।

$$3x-6y=15,3x-y=10$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 3x-6y=15 থেকে 3x-y=10 বাদ দিন।

$$3x-3x-6y+y=15-10$$

-3x এ 3x যোগ করুন। টার্ম 3x এবং -3x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-6y+y=15-10$$

y এ -6y যোগ করুন।

$$-5y=15-10$$

-10 এ 15 যোগ করুন।

$$-5y=5$$

-5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-1$$

3x-y=10 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -1 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x-\left(-1\right)=10$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 1 বাদ দিন।

$$3x=9$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=3$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=3,y=-1$$