{r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$32x+3y=5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3y বাদ দিন।

$$32x=-3y+5$$

32 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{32} কে -3y+5 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

অন্য সমীকরণ 3x+2y=70 এ x এর জন্য \frac{-3y+5}{32} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

3 কে \frac{-3y+5}{32} বার গুণ করুন।

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

2y এ -\frac{9y}{32} যোগ করুন।

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{15}{32} বাদ দিন।

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

\frac{55}{32} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{445}{11}$$

x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{445}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{3}{32} কে \frac{445}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{1335}{352} এ \frac{5}{32} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{40}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

32x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 32 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

সিমপ্লিফাই।

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 96x+9y=15 থেকে 96x+64y=2240 বাদ দিন।

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

-96x এ 96x যোগ করুন। টার্ম 96x এবং -96x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$9y-64y=15-2240$$

-64y এ 9y যোগ করুন।

$$-55y=15-2240$$

-2240 এ 15 যোগ করুন।

$$-55y=-2225$$

-55 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{445}{11}$$

3x+2y=70 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{445}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

2 কে \frac{445}{11} বার গুণ করুন।

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{890}{11} বাদ দিন।

$$3x=-\frac{120}{11}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{40}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$