{l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

v, w এর জন্য সমাধান করুন

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের v পৃথক করে v-এর জন্য সমাধান করুন।

$$9v+2w=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2w বাদ দিন।

$$9v=-2w+7$$

9 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

\frac{1}{9} কে -2w+7 বার গুণ করুন।

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

অন্য সমীকরণ 3v-8w=-2 এ v এর জন্য \frac{-2w+7}{9} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

3 কে \frac{-2w+7}{9} বার গুণ করুন।

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

-8w এ -\frac{2w}{3} যোগ করুন।

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{7}{3} বাদ দিন।

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

-\frac{26}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$w=\frac{1}{2}$$

v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9} এ w এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{1}{2} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি v এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{2}{9} কে \frac{1}{2} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{1}{9} এ \frac{7}{9} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$v=\frac{2}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট v এবং w বের করুন।

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

9v এবং 3v সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 9 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 27v+6w=21 থেকে 27v-72w=-18 বাদ দিন।

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

-27v এ 27v যোগ করুন। টার্ম 27v এবং -27v বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$6w+72w=21+18$$

72w এ 6w যোগ করুন।

$$78w=21+18$$

18 এ 21 যোগ করুন।

$$78w=39$$

78 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$w=\frac{1}{2}$$

3v-8w=-2 এ w এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{1}{2} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি v এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

-8 কে \frac{1}{2} বার গুণ করুন।

$$3v-4=-2$$

সমীকরণের উভয় দিকে 4 যোগ করুন।

$$3v=2$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$v=\frac{2}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$