{l}{5x+y=7}{-3x+7y=11}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 7 } \\ { - 3 x + 7 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=1$$

$$y=2$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x+y=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$5x=-y+7$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+7\right)$$

\frac{1}{5} কে -y+7 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

অন্য সমীকরণ -3x+7y=11 এ x এর জন্য \frac{-y+7}{5} বিপরীত করু ন।

$$-3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=11$$

-3 কে \frac{-y+7}{5} বার গুণ করুন।

$$\frac{3}{5}y-\frac{21}{5}+7y=11$$

7y এ \frac{3y}{5} যোগ করুন।

$$\frac{38}{5}y-\frac{21}{5}=11$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{21}{5} যোগ করুন।

$$\frac{38}{5}y=\frac{76}{5}$$

\frac{38}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=2$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{5}\times 2+\frac{7}{5}$$

-\frac{1}{5} কে 2 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{2}{5} এ \frac{7}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=1$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=1,y=2$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\right)}&-\frac{1}{5\times 7-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&-\frac{1}{38}\\\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 7-\frac{1}{38}\times 11\\\frac{3}{38}\times 7+\frac{5}{38}\times 11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=1,y=2$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

5x এবং -3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$-3\times 5x-3y=-3\times 7,5\left(-3\right)x+5\times 7y=5\times 11$$

সিমপ্লিফাই।

$$-15x-3y=-21,-15x+35y=55$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -15x-3y=-21 থেকে -15x+35y=55 বাদ দিন।

$$-15x+15x-3y-35y=-21-55$$

15x এ -15x যোগ করুন। টার্ম -15x এবং 15x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-3y-35y=-21-55$$

-35y এ -3y যোগ করুন।

$$-38y=-21-55$$

-55 এ -21 যোগ করুন।

$$-38y=-76$$

-38 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=2$$

-3x+7y=11 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-3x+7\times 2=11$$

7 কে 2 বার গুণ করুন।

$$-3x+14=11$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 14 বাদ দিন।

$$-3x=-3$$

-3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=1$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=1,y=2$$