{l}{5x+7y=7}{3x+2y=11}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{63}{11} = 5\frac{8}{11} \approx 5.727272727$$

$$y = -\frac{34}{11} = -3\frac{1}{11} \approx -3.090909091$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x+7y=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 7y বাদ দিন।

$$5x=-7y+7$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+7\right)$$

\frac{1}{5} কে -7y+7 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}$$

অন্য সমীকরণ 3x+2y=11 এ x এর জন্য \frac{-7y+7}{5} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=11$$

3 কে \frac{-7y+7}{5} বার গুণ করুন।

$$-\frac{21}{5}y+\frac{21}{5}+2y=11$$

2y এ -\frac{21y}{5} যোগ করুন।

$$-\frac{11}{5}y+\frac{21}{5}=11$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{21}{5} বাদ দিন।

$$-\frac{11}{5}y=\frac{34}{5}$$

-\frac{11}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{34}{11}$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{7}{5} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{34}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{7}{5}\left(-\frac{34}{11}\right)+\frac{7}{5}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{7}{5} কে -\frac{34}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{238}{55}+\frac{7}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{238}{55} এ \frac{7}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{63}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-7\times 3}&-\frac{7}{5\times 2-7\times 3}\\-\frac{3}{5\times 2-7\times 3}&\frac{5}{5\times 2-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\times 7+\frac{7}{11}\times 11\\\frac{3}{11}\times 7-\frac{5}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{11}\\-\frac{34}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x+7y=7,3x+2y=11$$

5x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 5x+3\times 7y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 11$$

সিমপ্লিফাই।

$$15x+21y=21,15x+10y=55$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 15x+21y=21 থেকে 15x+10y=55 বাদ দিন।

$$15x-15x+21y-10y=21-55$$

-15x এ 15x যোগ করুন। টার্ম 15x এবং -15x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$21y-10y=21-55$$

-10y এ 21y যোগ করুন।

$$11y=21-55$$

-55 এ 21 যোগ করুন।

$$11y=-34$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{34}{11}$$

3x+2y=11 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{34}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+2\left(-\frac{34}{11}\right)=11$$

2 কে -\frac{34}{11} বার গুণ করুন।

$$3x-\frac{68}{11}=11$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{68}{11} যোগ করুন।

$$3x=\frac{189}{11}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{63}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{63}{11},y=-\frac{34}{11}$$