{l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=913.000}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = -\frac{939}{11} = -85\frac{4}{11} \approx -85.363636364$$

$$y = \frac{3215}{11} = 292\frac{3}{11} \approx 292.272727273$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x+3y=450$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3y বাদ দিন।

$$5x=-3y+450$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

\frac{1}{5} কে -3y+450 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

অন্য সমীকরণ 3x+4y=913 এ x এর জন্য -\frac{3y}{5}+90 বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=913$$

3 কে -\frac{3y}{5}+90 বার গুণ করুন।

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=913$$

4y এ -\frac{9y}{5} যোগ করুন।

$$\frac{11}{5}y+270=913$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 270 বাদ দিন।

$$\frac{11}{5}y=643$$

\frac{11}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{3215}{11}$$

x=-\frac{3}{5}y+90 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{3215}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3215}{11}+90$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{3}{5} কে \frac{3215}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{1929}{11}+90$$

-\frac{1929}{11} এ 90 যোগ করুন।

$$x=-\frac{939}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{939}{11}\\\frac{3215}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

5x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

সিমপ্লিফাই।

$$15x+9y=1350,15x+20y=4565$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 15x+9y=1350 থেকে 15x+20y=4565 বাদ দিন।

$$15x-15x+9y-20y=1350-4565$$

-15x এ 15x যোগ করুন। টার্ম 15x এবং -15x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$9y-20y=1350-4565$$

-20y এ 9y যোগ করুন।

$$-11y=1350-4565$$

-4565 এ 1350 যোগ করুন।

$$-11y=-3215$$

-11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{3215}{11}$$

3x+4y=913 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{3215}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+4\times \frac{3215}{11}=913$$

4 কে \frac{3215}{11} বার গুণ করুন।

$$3x+\frac{12860}{11}=913$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{12860}{11} বাদ দিন।

$$3x=-\frac{2817}{11}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{939}{11}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$