{l}{5x+3y=15}{2x-2y=3}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 15 } \\ { 2 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{39}{16} = 2\frac{7}{16} = 2.4375$$

$$y=\frac{15}{16}=0.9375$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x+3y=15$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3y বাদ দিন।

$$5x=-3y+15$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+15\right)$$

\frac{1}{5} কে -3y+15 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{5}y+3$$

অন্য সমীকরণ 2x-2y=3 এ x এর জন্য -\frac{3y}{5}+3 বিপরীত করু ন।

$$2\left(-\frac{3}{5}y+3\right)-2y=3$$

2 কে -\frac{3y}{5}+3 বার গুণ করুন।

$$-\frac{6}{5}y+6-2y=3$$

-2y এ -\frac{6y}{5} যোগ করুন।

$$-\frac{16}{5}y+6=3$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 6 বাদ দিন।

$$-\frac{16}{5}y=-3$$

-\frac{16}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{15}{16}$$

x=-\frac{3}{5}y+3 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{15}{16} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{15}{16}+3$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{3}{5} কে \frac{15}{16} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{9}{16}+3$$

-\frac{9}{16} এ 3 যোগ করুন।

$$x=\frac{39}{16}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 15+\frac{3}{16}\times 3\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{5}{16}\times 3\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{16}\\\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x+3y=15,2x-2y=3$$

5x এবং 2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 15,5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 3$$

সিমপ্লিফাই।

$$10x+6y=30,10x-10y=15$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 10x+6y=30 থেকে 10x-10y=15 বাদ দিন।

$$10x-10x+6y+10y=30-15$$

-10x এ 10x যোগ করুন। টার্ম 10x এবং -10x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$6y+10y=30-15$$

10y এ 6y যোগ করুন।

$$16y=30-15$$

-15 এ 30 যোগ করুন।

$$16y=15$$

16 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{15}{16}$$

2x-2y=3 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{15}{16} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2x-2\times \frac{15}{16}=3$$

-2 কে \frac{15}{16} বার গুণ করুন।

$$2x-\frac{15}{8}=3$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{15}{8} যোগ করুন।

$$2x=\frac{39}{8}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{39}{16}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{39}{16},y=\frac{15}{16}$$