{l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$4x+y=-7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$4x=-y-7$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

\frac{1}{4} কে -y-7 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

অন্য সমীকরণ 2x+6y=-11 এ x এর জন্য \frac{-y-7}{4} বিপরীত করু ন।

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

2 কে \frac{-y-7}{4} বার গুণ করুন।

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

6y এ -\frac{y}{2} যোগ করুন।

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{7}{2} যোগ করুন।

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

\frac{11}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{15}{11}$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{15}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{1}{4} কে -\frac{15}{11} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{15}{44} এ -\frac{7}{4} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{31}{22}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

4x এবং 2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন।

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 8x+2y=-14 থেকে 8x+24y=-44 বাদ দিন।

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

-8x এ 8x যোগ করুন। টার্ম 8x এবং -8x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$2y-24y=-14+44$$

-24y এ 2y যোগ করুন।

$$-22y=-14+44$$

44 এ -14 যোগ করুন।

$$-22y=30$$

-22 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{15}{11}$$

2x+6y=-11 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{15}{11} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

6 কে -\frac{15}{11} বার গুণ করুন।

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{90}{11} যোগ করুন।

$$2x=-\frac{31}{11}$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{31}{22}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$